Question

已知函數f（x）=x³-3a²x+1
（1）若a=1，求函數f（x）的單調區間；
（2）已知a＞0，若?x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入，求出函數的解析式，進而求出導函數的解析式，分析導函數的符號后，可得函數f（x）的單調區間；
（2）若?x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．則?x∈[1，2]，恒有3a2≤

x3+1

x

，構造函數h(x)=

x3+1

x

，利用導數法求出其最小值，可得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x³-3x+1
f'（x）=3x²-3
由f'（x）＞0得x＜-1或x＞1，
由f'（x）＜0得-1＜x＜1
故f（x）的單調遞增區間是（-∞，-1）和（1，+∞），單調遞減區間是（-1，1）
（2）由題?x∈[1，2]，恒有x³-3a^2x+1≥0⇒?x∈[1，2]，恒有3a2≤

x3+1

x

令h(x)=

x3+1

x

=x2+

1

x

，h′(x)=2x-

1

x2

=

2(x3- 1 2 )

x2

，
當x∈[1，2]時，h'（x）＞0
∴h（x）在[1，2]上單調遞增，
∴h（x）_min=h（1）=2
故3a²≤2
又a＞0
∴0＜a≤

6

3

點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區間上函數的最值，利用導數研究函數的單調性，熟練掌握導函數法求函數單調區間和最值的方法和步驟是解答的關鍵．