Question

已知二次函數，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，
（1）求f（x）
（2）利用單調性的定義證明f（x）在x∈（1，2）為單調遞增函數．
（3）求f（x）在區間x∈（t，t+1）上的最值．

Answer 1

分析：（1）待定系數法：設f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=0可得c值，由f（x+1）=f（x）+x+1可得關于a，b的方程組，解出即可；
（2）設1＜x₁＜x₂＜2，根據增函數的定義只需證明f（x₁）＜f（x₂），通過作差即可證明；
（3）根據對稱軸與區間的位置關系，分三種情況討論：①若t+1≤-

1

2

，②若t＜-

1

2

＜t+1，③若t≥-

1

2

，借助圖象即可求得最值；

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，
由f（0）=0，得c=0，f（x+1）=f（x）+x+1，即a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+bx+c+x+1，
也即ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1，
所以有

2a+b=b+1 a+b=1

，解得

a= 1 2 b= 1 2

，
所以f(x)=

1

2

x2+

1

2

x．
（2）設1＜x₁＜x₂＜2，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

2

(x1-x2)(x1+x2-1)，
∵1＜x₁＜x₂＜2，∴x₁-x₂0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（1，2）上為增函數；
（3）①若t+1≤-

1

2

，即t≤-

3

2

，f_max（x）=f（t）=

1

2

t2+

1

2

t取不到，f_min（x）=f（t+1）=

1

2

t2+

3

2

t+1取不到；
②若t＜-

1

2

＜t+1即-

3

2

＜t＜-

1

2

，d1=-

1

2

-t，d2=t+

3

2

，
當d₁≥d₂即t≤-1時，f_max（x）=f（t）=

1

2

t2+

1

2

t取不到，f_min（x）=f（-

1

2

）=-

1

8

，
當d₁＜d₂即t＞-1時，f_max（x）=f（t+1）=

1

2

t2+

3

2

t+1取不到，fmin(x)=f(-

1

2

)=-

1

8

；
③若t≥-

1

2

，f_max（x）=f（t+1）=

1

2

t2+

3

2

t+1取不到，fmin(x)=f(t)=

1

2

t2+

1

2

t取不到．
綜上，當t≤-

3

2

或t≥

1

2

時，f（x）沒最大值也沒最小值，當-

3

2

＜t＜-

1

2

時，最小值為-

1

8

，無最大值．

點評：本題考查二次函數解析式的求法、二次函數單調性的證明及二次函數在閉區間上的最值問題，考查數形結合思想，屬中檔題，深刻理解“三個二次”間的關系是解決二次函數問題的關鍵．