Question

設函數f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）當時，判斷函數f（x）在定義域上的單調性；
（Ⅱ）求函數f（x）的極值點；
（Ⅲ）證明對任意的正整數n，不等式都成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求函數的定義域，然后求出函數f（x）的導函數，利用二次函數的性質判定導函數的符號，從而確定函數f（x）在定義域上的單調性；
（Ⅱ）需要分類討論，由（Ⅰ）可知分類標準為b≥，0＜b＜，b≤0或f'（x）＜0．參數取某些特定值時，可只管作出判斷，單列為一類；不能作出直觀判斷的，再分為一類，用通法解決，另外要注意由f'（x）=0求得的根不一定就是極值點，需要判斷在該點兩側的異號性后才能稱為“極值點”．
（Ⅲ）先構造函數h（x）=x³-x²+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的單調性，求出函數h（x）的最小值，從而得到ln（x+1）＞x²-x³，最后令，即可證得結論．
解答：解：（Ⅰ）函數f（x）=x²+bln（x+1）的定義域在（-1，+∞）

令g（x）=2x²+2x+b，則g（x）在上遞增，在上遞減，
g（x）=2x²+2x+b＞0在（-1，+∞）上恒成立，
所以f'（x）＞0即當，函數f（x）在定義域（-1，+∞）上單調遞增．
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知當時函數f（x）無極值點
（2）當時，，
∴，
∴時，函數f（x）在（-1，+∞）上無極值點
（3）當時，解f'（x）=0得兩個不同解
當b＜0時，，
∴x₁∈（-∞，-1），x₂∈（-1，+∞），此時f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點
當時，x₁，x₂∈（-1，+∞）f'（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）都大于0，
f'（x）在（x₁，x₂）上小于0，此時f（x）有一個極大值點和一個極小值點
綜上可知，b＜0，時，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點
時，f（x）有一個極大值點和一個極小值點
時，函數f（x）在（-1，+∞）上無極值點．
（Ⅲ）當b=-1時，f（x）=x²-ln（x+1）．令上恒正
∴h（x）在[0，+∞）上單調遞增，
當x∈（0，+∞）時，恒有h（x）＞h（0）=0
即當x∈（0，+∞）時，有x³-x²+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x²-x³，對任意正整數n，取
點評：本題主要考查了函數的單調性，以及導數的應用和不等式的證明方法，屬于中檔題．