Question

20．已知三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩互相垂直，且AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{7}$，AC=2，則此三棱錐的外接球的體積為（　�。�

• A． $\frac{8}{3}$π
• B． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
• C． $\frac{16}{3}$π
• D． $\frac{32}{3}$π

Answer 1

分析 求出PA=1，PC=$\sqrt{3}$，PB=2，以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖，則長方體的外接球同時也是三棱錐P-ABC外接球．算出長方體的對角線即為球直徑，結合球的體積公式，可算出三棱錐P-ABC外接球的體積．

解答 解：∵AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{7}$，AC=2，
∴PA=1，PC=$\sqrt{3}$，PB=2
以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖
則長方體的外接球同時也是三棱錐P-ABC外接球．
∵長方體的對角線長為$\sqrt{1+3+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴球直徑為2$\sqrt{2}$，半徑R=$\sqrt{2}$，
因此，三棱錐P-ABC外接球的體積是$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{4}{3}$π×（$\sqrt{2}$）³
=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
故選：B．

點評 本題給出三棱錐的三條側棱兩兩垂直，求它的外接球的表面積，著重考查了長方體對角線公式和球的表面積計算等知識，屬于中檔題．