Question

（本題滿分14分）已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN， M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析；（2）45°.

【解析】第一問(wèn)中，利用建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合數(shù)量積為零來(lái)判定線線的垂直關(guān)系

第二問(wèn)中，在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，分別求解得到平面MCN的法向量，然后得到直線SN的方向向量，利用法向量與方向向量來(lái)求解線面角的大小。

證明：設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖。

則P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.……4分

（Ⅰ）,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071820433131006006/SYS201207182044449193785181_DA.files/image004.png">，所以CM⊥SN  ……6分

（Ⅱ）,設(shè)a=（x，y，z）為平面CMN的一個(gè)法向量，

則         ……9分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071820433131006006/SYS201207182044449193785181_DA.files/image007.png">所以SN與平面CMN所成角為45°。…14分