Question

已知方程mx⁴-（m-3）x²+3m=0有一個根小于-1，其余三個根都大于-1，則m的取值范圍是

（-1，0）

．

Answer 1

分析：將方程mx⁴-（m-3）x²+3m=0轉化為函數f（x）=mx⁴-（m-3）x²+3m，換元設t=x²，則對應函數為g（t）=mt²-（m-3）t+3m，然后利用二次函數根的分布，確定實數m的取值范圍．

解答：解：由題意知m≠0，設函數f（x）=mx⁴-（m-3）x²+3m，為偶函數．
因為方程有1個根小于-1，其余3個根都大于-1，
所以方程一個根小于-1，對應的另一個根大于1，兩外兩個根一個在（-1，0）之間，一個在（0，1）之間．
設t=x²，則對應函數為g（t）=mt²-（m-3）t+3m，對應方程的兩個根t大于1，兩外一個根t∈（0，1）．
若m＞0，則

g(0)＞0 g(1)＜0

，即

3m＞0  m-(m-3)+3m＜0

，
解得

m＞0  m＜-1

，此時不等式組無解．
若m＜0，則

g(0)＜0  g(1)＞0

，即

3m＜0 m-(m-3)+3m＞0

，
解得

m＜0 m＞-1

，此時解得-1＜m＜0．
綜上可知，m的取值范圍是（-1，0）．
故答案為：（-1，0）．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的應用以及一元二次方程根的分布問題．利用換元法將四次函數轉化為一元二次函數，是解決本題的關鍵．