Question

（本小題滿分12分）設函數的定義域為R，當時，，且對任意，都有，且。
（1）求的值；
（2）證明：在R上為單調遞增函數；
（3）若有不等式成立，求的取值范圍。

Answer 1

（1）， ；（2）的取值范圍是。

本題主要考查了抽象函數表達式反映函數性質及抽象函數表達式的應用，函數單調性的定義及其證明，利用函數性質和函數的單調性解不等式的方法，轉化化歸的思想方法。
（1）利用賦值法，令x=2，y=0即可求得f（0）的值，令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）先證明0＜f（x）＜1，再利用函數單調性的定義，設任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，利用抽象表達式和已知函數性質證明f（x₁）＜f（x₂），即可得證；
（3）利用抽象表達式，先將不等式化為f(x+1+ )＜f(1)，再利用函數的單調性將不等式轉化為分式不等式即可得解集。
解（1）因為，所以，所以，又因為，且當時，，所以
（2）當時，，所以，而，所以，所以，對任意的，當時，有
，因為，所以，所以，即，所以，即，所以在R上是單調遞增函數（3）因為，所以，而在R上是單調遞增函數，所以，即：，所以，所以，所以的取值范圍是