Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²=3（y≥0），試求m=

y+1

x+3

及b=2x+y的取值范圍．

Answer 1

分析：設(shè)B（x，y）為半圓x²+y²=3（y≥0）上一點(diǎn)，A（-3，-1）．由直線的斜率公式得m=

y+1

x+3

是直線AB的斜率，因此作出圖形并加以觀察，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系建立關(guān)系式求出m的最大、最小值，即得m的取值范圍．再根據(jù)圓的參數(shù)方程，設(shè)x=

3

cosθ可得y=

3

sinθ（0≤θ≤π），利用輔助角公式得到b=2x+y=

15

sin（θ+β）（β是滿足sinβ=

2 5

5

的銳角），結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求出b=2x+y的取值范圍．

解答：解：根據(jù)題意，可得
設(shè)A的坐標(biāo)為（-3，-1），B（x，y）為半圓x²+y²=3（y≥0）上一點(diǎn)，
∵m=

y+1

x+3

，∴m可看作直線AB的斜率，
作出圖形，當(dāng)直線AB與半圓相切時(shí)，m達(dá)到最大值；
當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，0）時(shí)m達(dá)到最小值
設(shè)直線AB：y+1=m（x+3），即mx-y+3m-1=0
由

|3m-1|

m2+1

=

3

，解之得m=

3+ 21

6

（

3- 21

6

不合題意舍去）
當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，0）時(shí)，m=

0+1

3 +3

=

3- 3

6

∴m=

y+1

x+3

的取值范圍為[

3- 3

6

，

3+ 21

6

]；
設(shè)x=

3

cosθ，則y=

3

sinθ（0≤θ≤π）
∴b=2x+y=2

3

cosθ+

3

sinθ=

15

sin（θ+β），其中β是滿足sinβ=

2 5

5

的銳角
∵0≤θ≤π，∴當(dāng)θ=

π

2

-β時(shí)，b的最大值為

15

；當(dāng)θ=π時(shí)，b的最小值為-2

3

因此可得b=2x+y的取值范圍為[-2

3

，

15

]．
綜上所述，m=

y+1

x+3

及b=2x+y的取值范圍分別為[

3- 3

6

，

3+ 21

6

]和[-2

3

，

15

]．

點(diǎn)評：本題著重考查了直線的斜率、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．