Question

已知數列a_n的前n項和，n∈N₊．
（1）求a_n的通項公式；
（2）設n∈N₊，集合A_n={y|y=a_i，i≤n，i∈N₊}，B={y|y=4m+1，m∈N₊}．現在集合A_n中隨機取一個元素y，記y∈B的概率為p（n），求p（n）的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據a_n和S_n的關系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數列的通項公式（注意檢驗n=1是否成立）
（2）對i取奇數和偶數兩種情況分別討論求出對應的集合A_n，再求出對應的p（n）的表達式即可．
解答：解：（1）因為，n∈N₊，所以．
兩式相減，得，即，
∴a_n+1=3a_n，n∈N₊．（3分）
又，即，所以a₁=3．
∴a_n是首項為3，公比為3的等比數列．
從而a_n的通項公式是a_n=3ⁿ，n∈N₊．（6分）
（2）設y=a_i=3ⁱ∈A_n，i≤n，n∈N₊．
當i=2k，k∈N₊時，
∵y=3^2k=9^k=（8+1）^k=C_k8^k+C_k¹8^k-1++C_k^k-18+C_k^k=4×2（C_k8^k-1+C_k¹8^k-2++C_k^k-1）+1，∴y∈B．（9分）
當i=2k-1，k∈N₊時，
∵y=3^2k-1=3×（8+1）^k-1=3×（C_k-18^k-1+C_k-1¹8^k-2++C_k-1^k-28+C_k-1^k-1）
=4×6（C_k-18^k-2+C_k-1¹8^k-3++C_k-1^k-2）+3，∴y∉B．（12分）

又∵集合A_n含n個元素，
∴在集合A_n中隨機取一個元素y，有y∈B的概率p（n）=．（14分）
點評：本題考查了已知前n項和為S_n求數列{a_n}的通項公式，根據a_n和S_n的關系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數列的通項公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗證n=1時通項是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，則通項公式為分段函數．