Question

（Ⅰ）已知a＞0b＞0，c＞0，求證：a（b²+c²）+b（a²+c²）+c（a²+b²）≥6abc．
（Ⅱ）已知a≥3，求證：

a

-

a-1

＜

a-2

-

a-3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據a²+b²≥2ab，c＞0得到c（a²+b²）≥2abc；同理可得b（a²+c²）≥2abc；a（b²+c²）≥2abc；再根據同向不等式可以相加的性質即可證明不等式．
（Ⅱ）采用分析法來證，先把不等式轉化為：

a

+

a-3

＜

a-2

+

a-1

，兩邊平方，整理后得到一恒成立的不等式即可．

解答：證明：（Ⅰ）∵a²+b²≥2ab，c＞0
∴c（a²+b²）≥2abc，
同理可得：b（a²+c²）≥2abc；
：a（b²+c²）≥2abc．
上面三個不等式相加可得：a（b²+c²）+b（a²+c²）+c（a²+b²）≥6abc．
原命題得證．
（Ⅱ）要證：

a

-

a-1

＜

a-2

-

a-3

．
即證：

a

+

a-3

＜

a-2

+

a-1

，
須證：2a-3+2

a(a-3)

＜2a-3+

(a-1)(a-2)

轉化為證：a²-3a＜a²-3a+2
而上式恒成立．
所以原命題得證．

點評：本題主要考查不等式的證明．第二問的證明用到了分析法，分析法是從要證明的結論出發，一步步相前推，得到一個恒成立的不等式，或明顯成立的結論即可．