Question

(2006安徽，22)如圖所示，F為雙曲線的右焦點，P為雙曲線C右支上一點，且位于x軸上方，M為左準線上一點，O為坐標原點．已知四邊形OFPM為平行四邊形，．

(1)寫出雙曲線C的離心率e與λ的關系式；

(2)當λ=1時，經過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B兩點，若|AB|=12，求此時的雙曲線方程．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)設為PM與雙曲線右準線的交點，F(c，0)，則|PM|=|OF|=c，|OM|=|PF|=λc． ∵， ， ∴．即． (2)當λ=1時，由，解得e=2， 從而c=2a，． 由此得雙曲線的方程是． 下面確定a的值． 設雙曲線左準線與x軸的交點為N，P點的坐標為，則 ， ． 由于在雙曲線的右支上，且位于x軸上方，因而 ， ． 所以直線OP的斜率為． 設過焦點F且平行于OP的直線與雙曲線的交點為，則直線AB的斜率為，直線AB的方程為． 將其代入雙曲線方程整理得 ． ∵，， =12a． 由|AB|=12得a=1．于是，所求雙曲線的方程為．