【題目】如圖，矩形
垂直于直角梯形
，
，
為
中點，
，
.
（1）求證：
∥平面
；
（2）線段
上是否存在點
，使
與平面所成角的正切值為
？若存在，請求出
的長；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在；
【解析】
（1）連接PC，與DE交與點N，連接FN，可證出FN∥AC，再利用線面平行的判定定理即可證出.
（2）存在，Q為EF的中點，過F作FM⊥AD與M，連接MC，取MC的中點G，連接QG，由題中條件，求出
，連接CQ，可得∠QCG為直線CQ與平面ABCD所成的角，在
中，即可求解.
（1）連接PC，與DE交與點N，連接FN
在三角形PAC中，FN為中位線，所以FN∥AC，
平面
，
平面
所以，AC∥平面DEF
（2）存在，Q為EF的中點.
過F作FM⊥AD與M，連接MC，取MC的中點G，連接QG
在三角形
中，由條件可知，
，
在梯形
，
為中位線，所以
連接CQ，則∠QCG為直線CQ與平面ABCD所成的角，
，所以存在點Q滿足條件，
.
孟建平錯題本系列答案
超能學典應用題題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為了激勵業務員的積極性，對業績在60萬到200萬的業務員進行獎勵獎勵方案遵循以下原則：獎金y（單位：萬元）隨著業績值x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不低于1.5萬元同時獎金不超過業績值的5%.
（1）若某業務員的業績為100萬核定可得4萬元獎金，若該公司用函數
（k為常數）作為獎勵函數模型，則業績200萬元的業務員可以得到多少獎勵？（已知
，
）
（2）若采用函數
作為獎勵函數模型試確定最小的正整數a的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某快遞網點收取快遞費用的標準是重量不超過
的包裹收費10元，重量超過的包裹，除收費10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計算）需要再收費5元．該公司近60天每天攬件數量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數據用該區間的中點值作代表）．
（1）求這60天每天包裹數量的平均數和中位數；
（2）該快遞網點負責人從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為工作人員的工資和網點的利潤，剩余的作為其他費用．已知該網點有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計總體，試估計該網點每天的利潤有多少元？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一次數學考試后，對高三文理科學生進行抽樣調查，調查其對本次考試的結果滿意或不滿意，現隨機抽取
名學生的數據如下表所示：
滿意 | 不滿意 | 總計 | |
文科 | 22 | 18 | 40 |
理科 | 48 | 12 | 60 |
總計 | 70 | 30 | 100 |
（1）根據數據，有多大的把握認為對考試的結果滿意與科別有關；
（2）用分層抽樣方法在感覺不滿意的學生中隨機抽取
名，理科生應抽取幾人；
（3）在（2）抽取的名學生中任取2名，求文科生人數的期望.（
其中
）
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
的頂點坐標分別是
，的外接圓為
.
（1）求圓的方程；
（2）在圓上是否存在點
，使得
？若存在，求點的個數：若不存在，說明理由；
（3）在圓上是否存在點
，使得
？若存在，求點的個數：若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中,曲線
的參數方程為
(
為參數),以原點
為極點,
軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程與曲線直角坐標方程；
（2）設
為曲線上的動點,求點到上點的距離的最小值,并求此時點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
的離心率為
，且經過點M(1，)．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知直線l不過點P(0，1)，與橢圓C交于A、B兩點，記直線PA、PB的斜率分別為k1、k2，且滿足k1＋k2＝1，求證：直線l過定點，并求出該定點坐標．
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