Question

某校高三數學競賽初賽考試后，對90分以上（含90分）的成績進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示，若130～140分數段的人數為2人．
（1）估計這所學校成績在90～140分之間學生的參賽人數；
（2）估計參賽學生成績的中位數；
（3）現根據初賽成績從第一組和第五組（從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組）中任意選出兩人，形成幫扶學習小組，若選出的兩人成績之差大于20，則稱這兩人為“黃金搭檔組”，試求出的兩人為“黃金搭檔組”的概率．

Answer 1

分析：（1）先求學校的總人數，再求90～140分之間的頻率，總人數乘以此頻率即為所求．
（2）由頻率分布直方圖，結合求中位數和平均數的方法，即可找到眾數，求得中位數和平均數．
（3）本題是一個等可能事件的概率，可以列舉出從第一組和第五組中任意選出兩人共有下列15種選法，滿足條件的事件是兩人成績之差大于20，則兩人分別來自于第一組和第五組，共有8種選法，根據等可能事件的概率公式得到結果．

解答：解：（1）∵130～140分數段的人數為2人
又130～140分數段的頻率為：0.005×10=0.05
∴90～140分之間的人數為2÷0.05=40人．
（2）90～100，100～110，110～120，120～130，130～140之間的人數依次為：
40×10×0.01=4人，40×10×0.025=10人，40×10×0.045=18人，40×10×0.015=6人，2人
∴參賽學生成績的中位數的估計值為

0.5-0.1-0.25

0.045

+110=

340

3

≈113分．
（3）第一組共有40×0.01×10=4人，記作A₁、A₂、A₃、A₄；
第五組共有2人，記作B₁、B₂
從第一組和第五組中任意選出兩人共有下列15種選法：{A₁，A₂}、{A₁，A₃}、
{A₁，A₄}、{A₂，A₃}、{A₂，A₄}、{A₃，A₄}；{A₁，B₁}、{A₂，B₁}、{A₃，B₁}、
{A₄，B₁}；{A₁，B₂}、{A₂，B₂}、{A₃，B₂}、{A₄，B₂}；{B₁，B₂}．共有15種結果，
設事件A：選出的兩人為“黃金搭檔組”．
若兩人成績之差大于20，則兩人分別來自于第一組和第五組，共有8種選法，
故P（A）=

8

15

．

點評：本題考查頻率分布直方圖和中位數平均數的求法，注意公式：頻率=

頻數

樣本容量

的靈活應用．考查用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，考查等可能事件的概率，考查用列舉法來數出事件數，這是一個概率與統計的綜合題目．