Question

(09 年石景山區(qū)統(tǒng)一測試理)（14分）

如圖，已知正三棱柱―的底面邊長是，是側(cè)棱的中點，直線

與側(cè)面所成的角為．

   （Ⅰ）求此正三棱柱的側(cè)棱長；

   （Ⅱ）求二面角的大小；

   （Ⅲ）求點到平面的距離．

Answer 1

解析：解法一：

   （Ⅰ）設(shè)正三棱柱―的側(cè)棱長為．取中點，連結(jié)．

       ∵ 是正三角形，∴ ．

 又底面側(cè)面，

 且兩平面交線為，

       ∴ 側(cè)面．

連結(jié)，則為直線與側(cè)面所成的角．

       ∴ ．                                        ………………2分

       在中，，解得．

       ∴ 此正三棱柱的側(cè)棱長為．                            ………………4分

 （Ⅱ）過作于，連結(jié)．

∵ 側(cè)面，∴ 是在平面內(nèi)的射影．

由三垂線定理，可知．

  ∴ 為二面角的平面角．                  ………………6分

       在中，，又，

       ，   ∴ ．

       又，

       ∴ 在中，．                   ………………8分

       故二面角的大小為．                    ………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，平面，

       ∴ 平面平面，且交線為，

       過作于，則平面．

       ∴ 的長為點到平面的距離．                    ………………10分

       在中，．     …………12分

       ∵ 為中點，∴ 點到平面的距離為．  …………14分

解法二：

       （Ⅰ）同解法一．

       （Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系．

 

則．

       設(shè)為平面的法向量．

       由，

       得．

       取．                                         …………6分

       又平面的一個法向量．                         …………7分

       ∴ ． …………8分

       結(jié)合圖形可知，二面角的大小為．         …………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ），，．            …………10分

       ∴ 點到平面的距離

．

    ∴ 點到平面的距離為．                           …………14分