Question

已知雙曲線3x²-y²=3,直線l過右焦點F₂,且傾斜角為45°,與雙曲線交于A、B兩點,試問A、B兩點是否位于雙曲線的同一支上?并求弦AB的長.

Answer 1

分析:由題意,直線l的方程已定,欲判斷直線l與雙曲線的兩交點A、B是否位于同一支上,需判斷A、B兩點橫坐標的乘積x₁·x₂的符號.至于求弦長|AB|,只需用公式|AB|=1+k²·|x₁-x₂|來計算.

解:a=1,b=,c=2,e=2.

∵直線l過點F₂且傾斜角為45°,

∴直線l的方程為y=x-2,代入雙曲線方程,得2x²+4x-7=0.

設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

∵x₁·x₂=-＜0,

∴A、B兩點分別位于雙曲線的左、右兩支上.

∵x₁+x₂=-2,x₁·x₂=-,

∴|AB|=|x₁-x₂|=

綠色通道：

在運用雙曲線第二定義計算焦點弦(即過焦點的弦)長時,需要判斷弦的兩個端點是落在雙曲線的同一支還是兩支上,若在同一支上,則焦點弦長等于兩焦半徑之差的絕對值.