Question

對于函數f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的天宮一號點．已知函數f（x）=ax²+（b-7）x+18的兩個天宮一號點分別是-3和2．
（1）求a，b的值及f（x）的表達式；
（2）當函數f（x）的定義域是[t，t+1]（t＞0）時，f（x）的最大值為G（t），最小值為g（t），求H（t）=G（t）-g（t）的表示式．

Answer 1

解：（1）依題意得f（-3）=-3，f（2）=2；
即9a+21-3b+18=-3，4a+2b-14+18=2，
解得a=-3，b=5
∴f（x）=-3x²-2x+18
（2）∵f（x）對稱軸為 ＜0
∴f（x）在[t，t+1]（t＞0）內是單調減函數，


∴H（t）=G（t）-g（t）=6t+5
分析：（1）直接利用定義把條件轉化為f（-3）=-3，f（2）=2聯立即可求a，b的值及f（x）的表達式；
（2）根據函數的對稱軸，確定f（x）在[t，t+1]內是單調減函數，從而可求f（x）的最大值為G（t），最小值為g（t），進而可求H（t）=G（t）-g（t）的表示式
點評：本題以新定義為載體，考查函數的解析式，考查二次函數在閉區間上的最值問題．關于給定解析式的二次函數在固定閉區間上的最值問題，一般根據是開口向上的二次函數離對稱軸越近函數值越小，離對稱軸越遠函數值越大；開口向下的二次函數離對稱軸越近函數值越大，離對稱軸越遠函數值越小