Question

一塊形狀為直角三角形的鐵皮，直角邊長分別為40cm和60cm，現將它剪成一個矩形，并以此三角形的直角為矩形的一個角，問怎樣剪才能使剩下的殘料最少？

Answer 1

分析：如圖所示．設AC=40，BC=60．則直線AB的方程為

x

40

+

y

60

=1．設E（x，y），則

x

40

+

y

60

=1．（0＜x＜40，0＜y＜60）．利用基本不等式可得1≥2

x 40 • y 60

，化為xy≤600，當且僅當

x

40

=

y

60

=

1

2

，即x=20，y=30時取等號．此時剪下的矩形面積CDEF最大，可使得剩下的面積最少．

解答：解：如圖所示．設AC=40，BC=60．
則直線AB的方程為

x

40

+

y

60

=1．
設E（x，y），則

x

40

+

y

60

=1．（0＜x＜40，0＜y＜60）．
∴1≥2

x 40 • y 60

，化為xy≤600，當且僅當

x

40

=

y

60

=

1

2

，即x=20，y=30時取等號．
∴S_矩形CDEF=xy≤600．
∵△ABC的面積S=

1

2

×40×60=1200．是固定的，
∴當使得DE=20，EF=30，剪下矩形CDEF的面積最大時，才能使剩下的殘料最少．

點評：本題考查了基本不等式的應用、直線的截距式等基礎知識與基本方法，屬于中檔題．