Question

（1）求中心在原點，焦點在x軸上，焦距等于4，且經過點P（3，-2

6

）的橢圓方程；
（2）求e=

6

3

，并且過點（3，0）的橢圓的標準方程．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根據題意建立關于a、b的方程組，解之可得答案；
（2）由于橢圓的焦點位置不確定，故進行分類討論，根據題意分別建立關于a、b的方程組，解出a、b的值，進而可求出橢圓的標準方程．

解答：解：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵橢圓的焦距等于4，且經過點P（3，-2

6

），

2c=2 a2-b2 =4 32 a2 + (-2 6 )2 b2 =1

，解得

a2=36 b2=32

，
∴所求的橢圓方程為

x2

36

+

y2

32

=1；
（2）①當橢圓的焦點在x軸上時，
∵a=3，e=

c

a

=

6

3

，
∴c=

6

，可得b²=a²-c²=3．
此時橢圓的標準方程為

x2

9

+

y2

3

=1；
②當橢圓的焦點在y軸上時，
∵b=3，e=

c

a

=

6

3

，
∴

a2-b2

a

=

6

3

，解得a²=27．
此時橢圓的標準方程為

y2

27

+

x2

9

=1．
綜上所述，所求橢圓的標準方程為

x2

9

+

y2

3

=1或

y2

27

+

x2

9

=1．

點評：本題求橢圓的標準方程，重點考查了橢圓的標準方程、簡單幾何性質等知識，考查分類討論的數學思想，屬于基礎題．