Question

已知定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足以下三個條件：
Ⅰ．對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；Ⅱ．f（1）=1；Ⅲ．若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．則稱f（x）為“友誼函數”，請解答下列各題：
（1）若已知f（x）為“友誼函數”，求f（0）的值；
（2）函數g（x）=2^x-1在區間[0，1]上是否為“友誼函數”？并給出理由．

Answer 1

解：（1）取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），
得f（0）≥f（0）+f（0），化簡可得f（0）≤0
又由f（0）≥0，得f（0）=0
（2）顯然g（x）=2^x-1在[0，1]上滿足[Ⅰ]g（x）≥0；[Ⅱ]g（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，則有
g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=
故g（x）=2^x-1滿足條件[1]、[2]、[3]，所以g（x）=2^x-1為友誼函數．
分析：（1）賦值可考慮取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0
（2）要判斷函數g（x）=2^x-1在區間[0，1]上是否為“友誼函數，只要檢驗函數g（x）=2^x-1在[0，1]上是否滿足[I]g（x）≥0；[Ⅱ]g（1）=1；[III]x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，有g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）
點評：采用賦值法是解決抽象函數的性質應用的常用方法，而函數的新定義往往轉化為一般函數性質的研究，本題結合指數函數的性質研究函數的函數的函數值域的應用，指數函數的單調性的應用．