Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝mx3+x﹣sinx（m∈R）．

（1）當m＝0時，（i）求y＝f（x）在（，f（））處的切線方程；

（ii）證明：f（x）＜ex；

（2）當x≥0時，函數(shù)f（x）單調遞減，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（i）（ii）見解析（2）

【解析】

(1)(i) 根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，由點斜式即可得結果；(ii ) 當時，原命題等價于，結合，即證，令，利用異數(shù)研究其單調性，可得，從而可得結論；(2)依題意在上恒成立，令，求導，令，利用導數(shù)研究其單調性可，通過對分類討論，即可篩選出符合題意的取值范圍.

（1）當時，.

（i）,,

,

在處的切線方程為 ，

即.

（ii）原命題等價于，

，即證，

令，則，

當時，單調遞增；

當時，單調遞減，

，

，取等號條件不一致，

，

.

（2）依題意，在時恒成立，

令，則，

當時，，.

（i）當時，單調遞減，

，即，符合題意.

（ii）當時，，不符合題意，舍去.

（iii）當時，令，則，

由，

，

，使，

所以當時，在單調遞增，

所以當時，，即，

所以當時，在上單調遞增，

，即，不符合題意，舍去，

故.