Question

已知函數f（x）=log

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(3-2x-x2)
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）求函數f（x）的值域；
（Ⅲ）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）根據對數函數的真數大于零可求函數的定義域；
（II）根據二次函數的圖象和性質求出內函數的值域，結合對數函數的圖象和性質，可得函數f（x）的值域；
（III）把復合函數分成二次函數和對數函數，分別在定義域內判斷兩個基本初等函數的單調性，再由“同增異減”求原函數的遞增區間．

解答：解：（I）要使函數有意義，
則3-2x-x²＞0，
解得-3＜x＜1，
故函數的定義域是（-3，1），
（II）令t=-x²-2x+3，則函數t在（-3，-1]上遞增，在[-1，1）上遞減，
當x=-1時，函數t取最大值4
即0＜t≤4
∴y≥-2
∴函數f（x）的值域為[-2，+∞）
（III）又因函數y=log

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t在定義域上單調遞減，、
由（II）中t=-x²-2x+3在（-3，-1]上遞增，在[-1，1）上遞減，
故由復合函數的單調性知
f（x）=log

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(3-2x-x2)的單調遞增區間是[-1，1），單調遞減區間是（-3，-1]

點評：本題的考點是復合函數的單調性，對于對數函數需要先求出定義域，這也是容易出錯的地方；再把原函數分成幾個基本初等函數分別判斷單調性，再利用“同增異減”求原函數的單調性．