Question

4．若函數f（x）滿足：集合A={f（n）|n∈N^*}中至少存在三個不同的數構成等差數列，則稱函數f（x）是等差源函數．判斷下列函數：
①y=log₂x；
②y=2^x；
③y=$\frac{1}{x}$中，
所有的等差源函數的序號是（　　）

• A． ①
• B． ①②
• C． ②③
• D． ①③

Answer 1

分析 利用等差源函數的定義、等差數列的定義即可判斷出結論．

解答 解：①∵log₂1，log₂2，log₂4構成等差數列，∴y=log₂x是等差源函數；
②y=2^x不是等差源函數，因為若是，則2×2^p=2^m+2ⁿ，則2^p+1=2^m+2ⁿ，
∴2^p+1-n=2^m-n+1，左邊是偶數，右邊是奇數，故y=2^x+1不是等差源函數；
③取$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{6}$成等差數列，因此y=$\frac{1}{x}$是等差源函數．
綜上可得：只有①③正確．
故選：D．

點評 本題考查了等差源函數的定義、等差數列的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．