Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ）其中ω＞0，|φ|＜

π

2

．
（1）若cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=0．求φ的值；
（2）在（1）的條件下，若函數f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于

π

3

，求函數f（x）的解析式；并求最小正實數m，使得函數f（x）的圖象象左平移m個單位所對應的函數是偶函數．

Answer 1

分析：（I）利用特殊角的三角函數值化簡cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=0，根據|φ|＜

π

2

直接求出φ的值；
（Ⅱ）解法一：在（I）的條件下，若函數f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于

π

3

，求出周期，求出ω，得到函數f（x）的解析式；函數f（x）的圖象向左平移m個單位所對應的函數是偶函數．推出m=

kπ

3

+

π

12

(k∈Z)，可求最小正實數m．
解法二：在（I）的條件下，若函數f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于

π

3

，求出周期，求出ω，得到函數f（x）的解析式；利用g（x）是偶函數當且僅當g（-x）=g（x）對x∈R恒成立，使得函數f（x）的圖象向左平移m個單位所對應的函數是偶函數．化簡cos(3m+

π

4

)=0，然后再求最小正實數m．

解答：解：（I）由cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=0得cos

π

4

cosφ-sin

π

4

sinφ=0
即cos(

π

4

+φ)=0又|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

（Ⅱ）解法一：由（I）得，f(x)=sin(ωx+

π

4

)依題意，

T

2

=

π

3

又T=

2π

ω

，故ω=3，∴f(x)=sin(3x+

π

4

)
函數f（x）的圖象向左平移m個單位后所對應的函數為g(x)=sin[3(x+m)+

π

4

]g（x）是偶函數當且僅當3m+

π

4

=kπ+

π

2

(k∈Z)即m=

kπ

3

+

π

12

(k∈Z)從而，最小正實數m=

π

12

解法二：由（I）得，f(x)=sin(ωx+

π

4

)，依題意，

T

2

=

π

3

又T=

2π

ω

，故ω=3，∴f(x)=sin(3x+

π

4

)
函數f（x）的圖象向左平移m個單位后所對應的函數為g(x)=sin[3(x+m)+

π

4

]，g（x）是偶函數當且僅當g（-x）=g（x）對x∈R恒成立
亦即sin(-3x+3m+

π

4

)=sin(3x+3m+

π

4

)對x∈R恒成立．∴sin(-3x)cos(3m+

π

4

)+cos(-3x)sin(3m+

π

4

)=sin3xcos(3m+

π

4

)+cos3xsin(3m+

π

4

)
即2sin3xcos(3m+

π

4

)=0對x∈R恒成立．∴cos(3m+

π

4

)=0
故3m+

π

4

=kπ+

π

2

(k∈Z)∴m=

kπ

3

+

π

12

(k∈Z)從而，最小正實數m=

π

12

點評：本題是中檔題，考查三角函數的字母變量的求法，三角函數的圖象的平移，偶函數的性質，轉化思想的應用，考查計算能力，是常考題．