Question

如圖，給出定點A（a，0）（a＞0，a≠1）和直線l：x＝-LB是直線l上的動點，∠BOA的角平分線交AB于點C，求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關系。

Answer 1

解法一：依題意，記B(－1,b) (b∈R)，則直線OA和OB的方程分別y=0和y=－bx.設點C(x,y)，則有

 0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知點C到OA、OB距離相等根據點到直線的距離公式得｜y｜=   ①

依題設，點C在直線AB上，故有：y=

 由x－a≠0,得b=        ②

 將②式代入①式得：

y²［1+］=［y－ ］²

 整理得：y²［(1－a)x²－2ax+(1+a)y²］=0

若y≠0，則(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0(0＜x＜a)；

若y=0，則b=0，∠AOB=π，點C的坐標為(0，0)滿足上式

綜上得點C的軌跡方程為：(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0(0≤x＜a)

∵ a≠1，

∴             ③

由此知，當0＜a＜1時，方程③表示橢圓弧段；當a＞1時，方程③表示雙曲線一支的弧段

解法二：如圖，設D是l與x軸的交點，過點C作CE⊥x軸，E是垂足

(Ⅰ)當｜BD｜≠0時，設點C(x,y)，則0＜x＜a，y≠0

 由CE∥BD，得

 ∵∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD

∴2∠COA=π－∠BOD

 ∵tg(2∠COA)=,

tg(π-∠BOD)=-tg∠BOD,

 

 

 

∴

 整理得：(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0(0＜x＜a)

 (Ⅱ)當｜BD｜=0時，∠BOA=π，則點C的坐標為(0，0)，滿足上式

綜合(Ⅰ)(Ⅱ)，得點C的軌跡方程為(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0(0≤x＜a)

以下同解法一.