Question

已知函數f（x）=asinxcosx+4cos²x，x∈R，f(

π

6

)=6．
（1）求常數a的值；
（2）求函數f（x）的最小正周期和最大值．
（3）此函數如何由y=sinx變換得到？

Answer 1

分析：（1）直接利用f(

π

6

)=6，求出常數a的值；
（2）利用（1）通過二倍角與兩角和的正弦函數化簡函數的表達式，通過周期公式求函數f（x）的最小正周期和最大值．
（3）通過左加右減，伸縮變換，直接由y=sinx變換得到f（x）=4sin（2x+

π

6

）+2的圖象．

解答：解：（1）函數f（x）=asinxcosx+4cos²x，x∈R，f(

π

6

)=6．
所以6=asin

π

6

cos

π

6

+4cos²

π

6

，6=

3

4

a+4×(

3

2

)2，
解得a=4

3

；    
（2）由（1）可知，f（x）=4

3

sinxcosx+4cos²x=2

3

sin2x+2cos2x+2=4sin（2x+

π

6

）+2
所以函數的周期為：T=

2π

2

=π，
因為x∈R，所以函數的最大值為：M=6．
（3）函數y=sinx向左平移

π

6

，得到函數y=sin（x+

π

6

），
縱坐標不變，橫坐標變為原來的

1

2

，得到函數y=sin（2x+

π

6

）的圖象，
橫坐標不變，縱坐標伸長原來的4倍，得到函數y=4sin（2x+

π

6

）的圖象，
然后函數的圖象向上平移2單位，得到y=4sin（2x+

π

6

）+2的圖象．

點評：本題考查三角函數的化簡求值，二倍角公式與兩角和的三角函數的應用，函數的圖象的變換，考查計算能力．