Question

設關于x的方程4^x-2^x+1-b=0（b∈R）
（Ⅰ）若方程有實數解，求實數b的取值范圍；
（Ⅱ）當方程有實數解時，討論方程實根的個數，并求出方程的解．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先將原方程變為b=4^x-2^x+1，再利用整體思想將2^x看成整體，結合二次函數的性質即可求得實數b的取值范圍；
（Ⅱ）對b進行分類討論：①當b=-1時，②當b＞-1時，分別討論方程實根的個數，最后綜合①、②，得出結論即可．

解答：解：（Ⅰ）原方程為b=4^x-2^x+1，
∵4^x-2^x+1=（2^x）²-2×2^x=（2^x-1）²-1≥-1，
∴當b∈[-1，+∞）時方程有實數解；（4分）
（Ⅱ）①當b=-1時，2^x=1，∴方程有唯一解x=0；（6分）
②當b＞-1時，∵(2x-1)2=1+b?2x=1±

1+b

．
∵2x＞0，1+

1+b

＞0，∴2x=1+

1+b

的解為x=log2(1+

1+b

)；--（8分）
令1-

1+b

＞0?

1+b

＜1?-1＜b＜0，
∴當-1＜b＜0時，2x=1-

1+b

的解為x=log2(1-

1+b

)；--（10分）
綜合①、②，得
（1）當-1＜b＜0時原方程有兩解：x=log2(1±

1+b

)；
（2）當b≥0或b=-1時，原方程有唯一解x=log2(1+

1+b

)；（12分）

點評：本題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數的關系、根的存在性及根的個數判斷．解答的關鍵 是利用函數與方程的思想方法．