Question

18、設函數f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0，f（x）＜0；f（1）=-2．
（1）證明f（x）是奇函數；
（2）證明f（x）在R上是減函數；
（3）求f（x）在區間[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先利用賦值法求出f（0）的值，欲證明f（x）是奇函數，即證明f（x）+f（-x）=0，再在題中條件中令y=-x即得；
（2）利用單調性的定義證明，任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，證明即f（x₁）＞f（x₂），即可；
（3）利用（2）的結論得f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3），最小值為f（3）．故只要求出f（3）和f（-3）即可．

解答：證明：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y），
得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x），
∴f（x）+f（-x）=f（0）．
又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
從而有f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）是奇函數．
（2）任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）-[f（x₁）+f（x₂-x₁）]=-f（x₂-x₁）．
由x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0．∴f（x₂-x₁）＜0．
∴-f（x₂-x₁）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
從而f（x）在R上是減函數．
（3）由于f（x）在R上是減函數，
故f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3），
最小值為f（3）．由f（1）=-2，
得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）
=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）
=3×（-2）=-6，f（-3）=-f（3）=6．
∴最大值為6，最小值為-6．

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．