Question

8．奇函數f（x）定義域為（-π，0）∪（0，π），其導函數是f′（x）．當0＜x＜π時，有f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，則關于x的不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx的解集為（　　）

• A． （$\frac{π}{4}$，π）
• B． （-π，-$\frac{π}{4}$）∪（$\frac{π}{4}$，π）
• C． （-$\frac{π}{4}$，0）∪（0，$\frac{π}{4}$）
• D． （-$\frac{π}{4}$，0）∪（$\frac{π}{4}$，π）

Answer 1

分析 設g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，利用導數判斷出g（x）單調性，根據函數的單調性求出不等式的解集

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$，
∵f（x）是定義在（-π，0）∪（0，π）上的奇函數，
故g（-x）=$\frac{f（-x）}{sin（-x）}$=$\frac{-f（x）}{-sinx}$=g（x）
∴g（x）是定義在（-π，0）∪（0，π）上的偶函數．
∵當0＜x＜π時，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上單調遞減，
∴g（x）在（-π，0）上單調遞增．
∵f（$\frac{π}{2}$）=0，
∴g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{f（\frac{π}{2}）}{sin\frac{π}{2}}$=0，
∵f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx，即g（$\frac{π}{4}$）＞g（x）；
①當sinx＞0時，即x∈（0，π），所以x∈（$\frac{π}{4}$，π）；
②當sinx＜0時，即x∈（-π，0）時，g（$\frac{π}{4}$）=g（-$\frac{π}{4}$）＜g（x）；
所以x∈（-$\frac{π}{4}$，0）；
即不等式f（x）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）sinx的解集為解集為（-$\frac{π}{4}$，0）∪（$\frac{π}{4}$，π），
故選：D

點評 求抽象不等式的解集，一般能夠利用已知條件判斷出函數的單調性，再根據函數的單調性將抽象不等式轉化為具體函的不等式解之