Question

（2013•長寧區一模）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，在三角形內挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點C、M，與BC交于點N），將△ABC繞直線BC旋轉一周得到一個旋轉體．
（1）求該幾何體中間一個空心球的表面積的大小；
（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉一周所得旋轉體的體積．

Answer 1

分析：根據旋轉體的軸截面圖，利用平面幾何知識求得球的半徑與AC長，再利用面積公式與體積公式計算即可．

解答：解：（1）連接OM，則OM⊥AB

設OM=r，OB=

3

-r，在△BMO中，sin∠ABC=

r

3 -r

=

1

2

?r=

3

3

∴S=4πr²=

4

3

π．
（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=

3

，∴AC=1．
∴V=V_圓錐-V_球=

1

3

π×AC²×BC-

4

3

πr³=

1

3

π×

3

-

4

3

π×

3

9

=

5 3

27

π．

點評：本題考查旋轉體的表面積與體積的計算．S_球=4πr²；V_圓錐=

1

3

πr³．