Question

已知數列中，，，.

（1）求證：是等差數列；并求數列的通項公式；

（2）假設對于任意的正整數、，都有，則稱該數列為“域收斂數列”. 試判斷: 數列，是否為一個“域收斂數列”，請說明你的理由.

Answer 1

（1）證明略  （2）是

解析:

（1）證明：因為，

所以，；故是等差數列.

由此可得，，

所以，.

（2）解：由條件，可知

當，；當時，，.

令，則

                            

所以，當時，；

同理可得，當時，；

即數列在時遞增；時，遞減；即是數列的最大項.

然而，因為的奇數項均為，故為數列的最小項；

而，，所以，

故是數列的最大項.

因此，對任意的正整數、，

所以數列，是一個“域收斂數列”.