Question

（分）設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，證明：．

Answer 1

略

：為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個為；據(jù)對稱性，不妨設(shè)，則；
、當(dāng)時，條件式成為，，，而
，
只要證，，即，也即，此為顯然；取等號當(dāng)且僅當(dāng)．
、再證，對所有滿足的非負(fù)實(shí)數(shù)，皆有
．顯然，三數(shù)中至多有一個為，據(jù)對稱性，
仍設(shè)，則，令，為銳角，以為內(nèi)角，構(gòu)作，則，于是，且由知，；于是，即是一個非鈍角三角形．
下面采用調(diào)整法，對于任一個以為最大角的非鈍角三角形，固定最大角，將調(diào)整為以為頂角的等腰，其中，且設(shè)，記，據(jù)知，
．今證明，．即 ……1．
即要證   ……2
先證  ……3，即證 ，
即 ，此即 ，也即
，即 ，此為顯然．
由于在中，，則；而在中，
，因此2式成為
 ……4，
只要證， ……5，即證 ，注意3式以及
，只要證，即，也即…6
由于最大角滿足：，而，則，所以
，故6成立，因此5得證，由3及5得4成立，從而1成立，即，因此本題得證．