Question

（2012•溫州二模）如圖，在多面體ABCDE中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，四邊形為等腰梯形，∠EAC=∠DCA=45°，AC=2ED=4，平面BCD丄平面ABE．
（I ）求證：AB丄平面BCD；
（II ）試求二面角C-BD-E的大小．

Answer 1

分析：（I ）延長AE與CD交于F，則△ACF為等腰直角三角形，在平面BCF內過C作CG⊥BF于G，可得CG⊥平面ABF，從而可得CG⊥AB，又AB⊥BC，利用線面垂直的判定，可證AB丄平面BCD；
（II ）設H為BF的中點，過H作HP⊥BD于P，則可得∠HPE為二面角的平面角的補角，由此可求二面角C-BD-E的大小．

解答：（I ）證明：延長AE與CD交于F，
∵四邊形為等腰梯形，∠EAC=∠DCA=45°，
∴△ACF為等腰直角三角形
在平面BCF內過C作CG⊥BF于G，∵平面BCD丄平面ABE，∴CG⊥平面ABF
∵AB?平面ABF，∴CG⊥AB
∵AB⊥BC，BC∩CG=C
∴AB丄平面BCD；
（II ）解：設H為BF的中點，則EH∥AB，∴EH⊥平面BCF
過H作HP⊥BD于P，則EP⊥BD，∴∠HPE為二面角的平面角的補角

∵EH=1，HP=

3

3

∴EP=

2 3

3

∴cos∠HPE=

HP

EP

=

1

2

∴∠HPE=60°
∴二面角C-BD-E的大小為120°．

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定方法，正確作出面面角，屬于中檔題．