Question

已知圓C：x²+y²+2x+Ey+F=0（E、F∈R），有以下命題：
①E=-4，F=4是曲線C表示圓的充分非必要條件；
②若曲線C與x軸交于兩個不同點A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁、x₂∈[-2，1），則0≤F≤1；
③若曲線C與x軸交于兩個不同點A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁、x₂∈[-2，1），O為坐標原點，則|

OA

-

OB

|的最大值為2；
④若E=2F，則曲線C表示圓，且該圓面積的最大值為

3π

2

．
其中所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：對于①把E和F代入整理后，判斷是否表示一個圓，反之利用表示圓的條件即D²+E²-4F＞0進行驗證；對于②③把y=0代入方程化簡為一個關于x的二次方程，根據△的符號和韋達定理，進行求解；對于④用F表示出圓的半徑平方，利用配方法化簡解析式，求出最值進行判斷．

解答：解：①、圓C：x²+y²+2x+Ey+F=0（E、F∈R）中，應有 4+E²-4F＞0，當E=-4，F=4時，
滿足 4+E²-4F＞0，曲線C表示圓，但曲線C表示圓時，E不一定等于-4，F不一定等于4，故①正確．
②、若曲線C與x軸交于兩個不同點A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁、x₂∈[-2，1），
則 x₁、x₂  是x² +2x+F=0的兩根，△=4-4F＞0，解得F＜0，故 ②不正確．
③、若曲線C與x軸交于兩個不同點A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁、x₂∈[-2，1），
∴|

OA

-

OB

|=|

BA

|，
故當A點坐標 為（-2，0）點，B點坐標為（0，0）
此時|

OA

-

OB

|取最大值2，故③正確；
④、由于E=2F，則圓的半徑的平方為

1

4

（4+E²-4F）=

1

4

（4+4F²-4F）=（F-1）²+

3

4

，
則圓面積由最小值，無最大值，故④不對．
故答案為：①③．

點評：本題考查了二元二次方程表示圓的條件，直線與圓相交時利用判別式的符號以及韋達定理，還有利用配方法求出圓的半徑的最值，考查知識多，難度大．