Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD．
（1）若點O為線段AC的中點，求證：OF∥平面ADE；
（2）求平面BCF與平面DCF所夾的角．

Answer 1

分析：（1）由已知中平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90°，根據面面垂直的性質，我們可得EA⊥平面ABCD，作FH∥EA交AB于H，連接OH，OH為三角形ABC的中位線，根據面面平行的判定定理，可得平面FHO∥平面EAD，再由面面平行的性質，即可得到OF∥平面ADE；
（2）分別以AD，AB，AE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標私系，分別求出平面BCF與平面DCF的法向量，代入向量夾角公式，即可求出平面BCF與平面DCF所夾的角．

解答：解：（1）證明：∵平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90°，EA⊥AB
又∵平面ABFE∩平面ABCD=AB
∴EA⊥平面ABCD
作FH∥EA交AB于H，
∵AB=2，EF=1，
∴H為AB的中點，
連接OH，OH為三角形ABC的中位線
OH∥BC∥AD且OH∩FH=H
∴平面FHO∥平面EAD，
又∵OH?平面FHO
∴OF∥平面ADE；
（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB
∴EA⊥平面ABCD，
分別以AD，AB，AE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標私系，
則A（0，0，0），D（1，0，0），C（1，2，0），E（0，0，1），B（0，2，0），F（0，1，1）
∴

AF

=（0，1，1），

BC

=（1，0，0），

BF

=（0，-1，1）
∵

AF

•

BC

=0，

AF

•

BF

=0
∴AF⊥平面BCF
即

AF

=（0，1，1）為平面BCF的一個法向量
∵

DC

=（0，2，0），

DE

=（-1，0，1）
設

n

=（x，y，z）為平面CDF的一個法向量
則

n • DC =0 n • DE =0

，即

y=0 -x+z=0

令x=1，得Z=1
即

n

=（1，0，1）為平面DCF的一個法向量
∵cos＜

AF

，

n

＞=

1

2

∴平面BCF與平面DCF所夾的角為60°

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，其中 （1）的關鍵是證得平面FHO∥平面EAD，（2）的關鍵是建立空間坐標系，求出兩個平面的法向量，將二面角問題轉化為向量的夾角問題．