Question

【題目】已知定義域為R的函數f（x）=是奇函數．

（1）求b的值，判斷并用定義法證明f（x）在R上的單調性；

（2）解不等式f（2x+1）+f（x）＜0．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（-∞，-）．

【解析】

（1）由f（0）=0列式求得b，可得函數解析式，再由函數單調性的定義證明函數f（x）在R上為增函數；（2）由函數是奇函數把不等式f（2x+1）+f（x）＜0變形為f（2x+1）＜-f（x）=f（-x），再由單調性轉化為關于x的一元一次不等式求解．

（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（0）=，得b=-1．

∴f（x）=．

函數f（x）在R上為增函數．

證明如下：設，∈（-∞，+∞），且＞，

則f（）-f（）=

==．

∵＞0，＞0，

又＞，∴＞0，

則f（）-f（）=＞0，即f（）＞f（），

∴函數f（x）在R上為增函數；

（2）∵函數f（x）在R上的奇函數，

∴f（2x+1）+f（x）＜0f（2x+1）＜-f（x）=f（-x）．

由（1）知，函數f（x）在R上為增函數，

∴2x+1＜-x，即x＜-．

∴不等式f（2x+1）+f（x）＜0的解集為（-∞，-）．