Question

已知某橢圓的焦點是F₁（-4，0）、F₂（4，0），過點F₂，并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F₁B|+|F₂B|=10．橢圓上不同的兩點A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）滿足條件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列．
（1）求該橢圓的方程；
（2）求弦AC中點的橫坐標；
（3）設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓定義及條件知2a=|F₁B|+|F₂B|=10，得a=5．又c=4，所以b==3．由此可知橢圓方程為+=1．
（2）由點B（4，y_B）在橢圓上，得|F₂B|=|y_B|=．因為橢圓右準線方程為x=，離心率為．根據橢圓定義，有|F₂A|=（-x₁），|F₂C|=（-x₂）．由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列，得x₁+x₂=8．由此可知x===4．
（3）由A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在橢圓上，得9（）+25（）（）=0（x₁≠x₂）．將=x=4，=y，=-（k≠0）代入上式，得9×4+25y（-）=0（k≠0）．由此可求出m的取值范圍．
解答：（1）解：由橢圓定義及條件知
2a=|F₁B|+|F₂B|=10，得a=5．又c=4，
所以b==3．
故橢圓方程為+=1．
（2）解：由點B（4，y_B）在橢圓上，得|F₂B|=|y_B|=．
因為橢圓右準線方程為x=，離心率為．
根據橢圓定義，有|F₂A|=（-x₁），|F₂C|=（-x₂）．
由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列，得（-x₁）+（-x₂）=2×．
由此得出x₁+x₂=8．
設弦AC的中點為P（x，y），
則x===4．
（3）解：由A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在橢圓上，得
9x₁²+25y₁²=9×25，④
9x₂²+25y₂²=9×25．⑤
由④-⑤得9（x₁²-x₂²）+25（y₁²-y₂²）=0，
即9（）+25（）（）=0（x₁≠x₂）．
將=x=4，=y，=-（k≠0）代入上式，得
9×4+25y（-）=0（k≠0）．
由上式得k=y（當k=0時也成立）．
由點P（4，y）在弦AC的垂直平分線上，得
y=4k+m，
所以m=y-4k=y-y=-y．
由P（4，y）在線段BB′（B′與B關于x軸對稱）的內部，得-＜y＜．
所以-＜m＜．
點評：在推導過程中，未寫明“x₁≠x₂”“k≠0”“k=0時也成立”及把結論寫為“-≤m≤”也可以．