Question

某投資公司計(jì)劃投資A，B兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)y₁與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y₁=18-

180

x+10

，B產(chǎn)品的利潤(rùn)y₂與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y₂=

x

5

 （注：利潤(rùn)與投資金額單位：萬(wàn)元）．
（1）該公司已有100萬(wàn)元資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品中，其中x萬(wàn)元資金投入A產(chǎn)品，試把A，B兩種產(chǎn)品利潤(rùn)總和表示為x的函數(shù)，并寫出定義域；
（2）在（1）的條件下，試問(wèn)：怎樣分配這100萬(wàn)元資金，才能使公司獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？

Answer 1

分析：（1）其中x萬(wàn)元資金投入A產(chǎn)品，則剩余的100-x（萬(wàn)元）資金投入B產(chǎn)品，根據(jù)A產(chǎn)品的利潤(rùn)y₁與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y₁=18-

180

x+10

，B產(chǎn)品的利潤(rùn)y₂與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y₂=

x

5

，可得利潤(rùn)總和；
（2）f（x）=40-

x+10

5

-

180

x+10

，x∈[0，100]，由基本不等式，可得結(jié)論．

解答：解：（1）其中x萬(wàn)元資金投入A產(chǎn)品，則剩余的100-x（萬(wàn)元）資金投入B產(chǎn)品，
利潤(rùn)總和f（x）=18-

180

x+10

+

100-x

5

=38-

x

5

-

180

x+10

（x∈[0，100]）．…（6分）
（2）∵f（x）=40-

x+10

5

-

180

x+10

，x∈[0，100]，
∴由基本不等式得：f（x）≤40-2

36

=28，取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)

x+10

5

=

180

x+10

時(shí)，即x=20．…（12分）
答：分別用20萬(wàn)元和80萬(wàn)元資金投資A、B兩種金融產(chǎn)品，可以使公司獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為28萬(wàn)元．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查基本不等式的運(yùn)用，考查函數(shù)模型的建立，屬于中檔題．