Question

已知：數(shù)列{a_n}滿足，其中n∈N，首項(xiàng)為a．
（1）若對于任意的n∈N，數(shù)列{a_n}還滿足a_n=p（p為常數(shù)），試求a的值；
（2）若存在a，使數(shù)列{a_n}滿足：對任意正整數(shù)n，均有a_n＜a_n+1，求a的取值范圍．；
（3）若a=4，求滿足不等式a_n≤2的自然數(shù)n的集合

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知a_n=a_n+1=a=p，由此可知a的值為1或2．
（2）解不等式a_n＜a_n+1，得a_n＜，得a_n＜-1或1＜a_n＜2．要使a₁＜a₂，則a₁＜-1或1＜a₁＜2．然后在分類討論，可以求得a∈（1，2）．
（3）由已知，得a_n+1-1=，，a=4，由此可以求得自然數(shù)n的集合為：{n|n≥3，n∈N}．
解答：解：（1）∴對任意的n∈N，a_n=p（p為常數(shù)），∴a_n=a_n+1=a=p，
則=p，得p²-3p+2=0，所以p=1或p=2，故a的值為1或2．
（2）解不等式a_n＜a_n+1，得a_n＜，得a_n＜-1或1＜a_n＜2．
要使a₁＜a₂，則a₁＜-1或1＜a₁＜2．
（1）當(dāng)a₁＜-1時，a₂=f（a₁）=4-（2）＞4，
而a₃=f（a₂）=4-（3）＜4＜a₂，
明顯不滿足題意，舍去；
（ii）當(dāng)1＜a₁＜2時，由a₂=4-，得1＜a₂＜2，
由a₃=4-，和1＜a₃＜2，
…
依此類推，a_n=4-，得1＜a_n＜2，
而1＜a_n＜2時，不等式a_n＜a_n+1成立．
∴數(shù)列{a_n}中的所有項(xiàng)均滿足a_n＜a_n+1（n∈N*）．
綜上所述，a₁∈（1，2），由a₁=f（a），得a∈（1，2）
（3）由已知，得a_n+1-1=，，
a=4，所以由（1）得a_n≠1，2對任意n∈N成立．
，
∴
∴所求的自然數(shù)n的集合為：{n|n≥3，n∈N}
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．