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數列{an}和{bn}滿足an=
1
n
(b1+b2+…+bn)（n=1，2，3…），求證{bn}為等差數列的充要條件是{an}為等差數列．
證明：必要性若{bn}為等差數列，設首項b1，公差d
則an=
1
n
(nb1+
n(n-1)
2
d)=b1+
n-1
2
d
∵an+1-an=
d
2
，∴{an}為是公差為
d
2
的等差數列
充分性若{an}為等差數列，設首項a1，公差d
則b1+b2+…+bn=n[a1+（n-1）d]=dn2+（a1-d）
nb1+b2+…+bn-1=d（n-1）2+（a1-d）（n-1），（n≥2）
∴bn=2dn+（a1-2d），（n≥2）
當n=1時，b1=a1也適合
∵bn+1-bn=2d，∴{bn}是公差為2d的等差數列
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

22、數列{an}和{bn}適合下列關系式an=5an-1-6bn-1，bn=3an-1-4bn-1，且a1=a，b1=b，求通項an和bn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知等差數列{an}的首項a1=2，公差d≠0，且第一項、第三項、第十一項分別是等比數列{bn}的第一項、第二項、第三項．
（I）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（II）設數列{cn}對任意的n∈N*均有
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=an+1，求數列{cn}的前n項和．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}是等差數列，a1+a2+a3=15，數列{bn}是等比數列，b1b2b3=27．
（1）若a1=b2，a4=b3．求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3是正整數且成等比數列，求a3的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•藍山縣模擬）已知數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）數列{cn}滿足cn=anbn，求數列{cn}的前n項和Sn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點(1，
1
3
)是函數f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的圖象上一點．等比數列{an}的前n項和為f（n）-1．數列{bn}（bn＞0）的首項為1，且前n項和sn滿足sn-sn-1=
sn
+
sn_1
(n≥2)
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）若數列{
1
bnbn_1
}的前n項和為Tn，問滿足Tn＞
1000
2012
的最小正整數n是多少？

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同步練習冊答案
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