Question

定義在R上的奇函數f（x），滿足f(

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2

)=0，且在（0，+∞）上單調遞減，則xf（x）＞0的解集為（　�。�

• A．{x|x＜-

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  2

  或x＞

  1

  2

  }
• B．{x|0＜x＜

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  2

  或-

  1

  2

  ＜x＜0}
• C．{x|0＜x＜

  1

  2

  或x＜-

  1

  2

  }
• D．{x|-

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  2

  ＜x＜0或x＞

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  2

  }

Answer 1

分析：由已知中f （

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）=0，且在（0，+∞）上單調遞減，可得f （-

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）=0，且在區間（-∞，0）上單調遞減，分類討論后，可得xf（x）＞0的解集

解答：解：∵函數f（x）是奇函數，在（0，+∞）上單調遞減，且f （

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）=0，
∴f （-

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）=0，且在區間（-∞，0）上單調遞減，
∵當x＜0，當-

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＜x＜0時，f（x）＜0，此時xf（x）＞0
當x＞0，當0＜x＜

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2

時，f（x）＞0，此時xf（x）＞0
綜上xf（x）＞0的解集為{x|0＜x＜

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2

或-

1

2

＜x＜0}
故選B

點評：本題主要考查函數的單調性和奇偶性的綜合應用，體現了轉化的數學思想，判斷出f （-

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）=0，且在區間（-∞，0）上單調遞減是解題的關鍵．