Question

如圖，從山腳下P處經過山腰N到山頂M拉一條電纜，PN的長為a米，NM的長為2a米，在P處測得M、N的仰角分別為45°，30°，在N處測得M的仰角為30°．
（1）求此山的高度；
（2）試求平面PMN與水平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過M作MA垂直過P的水平面于A，過N作NB垂直過P的水平面于B，則MA∥NB，連接AB，PA，PM，PB，過N作NH⊥MA于H，可得：四凌錐P-ABNM的底面ABNM為直角梯形，從而可求山的高度；
（2）解法1：利用面積射影法，分別求得，
，從而可求平面PMN與水平面所成角的余弦值；
解法2：以A為原點AB、AM分別為y、z軸建立直角坐標系，求出平面MNP的一個法向量，水平面PAB的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求得平面PMN與水平面所成角的余弦值；
解法3：設直線MN與AB交于點C，連PC，過B作BD垂直于PC于點D，連ND．則∠NDB為所求二面角的平面角，可求得，從而可得平面PMN與水平面所成角的余弦值．
解答：解：（1）如圖，過M作MA垂直過P的水平面于A，過N作NB垂直過P的水平面于B，則MA∥NB
連接AB，PA，PM，PB，過N作NH⊥MA于H，
依題意得：四凌錐P-ABNM的底面ABNM為直角梯形，∠NPB=30°，∠MPB=45°，∠MNH=30°，
∴
山高米         
（2）
解法1：設平面PMN與水平面所成角為θ，則
△MNP中，
∴，
∵△APB為直角三角形，∴
∴
解法2：以A為原點AB、AM分別為y、z軸建立直角坐標系，不妨設a=1，則

設平面MNP的一個法向量，則
即令x=1，解得
又水平面PAB的一個法向量，
設平面PMN與水平面所成角為θ，則=，
∴平面PMN與水平面所成角的余弦值為．
解法3：設直線MN與AB交于點C，連PC，過B作BD垂直于PC于點D，連ND．
則∠NDB為所求二面角的平面角                    
由MA∥NB，得，，
∴
∴平面PMN與水平面所成角的余弦值為．
點評：本題主要考查空間線面關系、空間角、解三角形等基礎知識；考查空間想象能力，考查運算求解能力以及分析問題解決問題的能力；考查數形結合、化歸與轉化等數學思想．