Question

已知兩圓C₁：x²＋y²－2x＋10y－24＝0，C₂：x²＋y²＋2x＋2y－8＝0，

(1)求兩圓公共弦的長(zhǎng)；

(2)求以公共弦為直徑的圓的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)畫(huà)出如圖示意圖，兩圓方程相減得x－2y＋4＝0，此即公共弦所在直線方程，又圓C2的圓心C2(－1，－1)到公共弦的距離d＝，且d2＋()2＝r22(l為公共弦長(zhǎng))， 　　∴l＝，即公共弦長(zhǎng)為． 　　(2)解法一：連心線C1C2的方程為2x＋y＋3＝0， 它與公共弦的交點(diǎn)(－2，1)， 　　即為所求圓的圓心， 　　又所求圓半徑為， 　　∴圓的方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝5． 　　解法二：∵所求圓經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)， 　　設(shè)圓方程為(x2＋y2－2x＋10y－24)＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0， 　　即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0．① 　　其圓心為()． 　　∵圓心在公共弦x－2y＋4＝0上， 　　∴＋4＝0． 　　解得λ＝－3． 　　代入①并整理得，所求圓方程為x2＋y2＋4x－2y＝0． 　　思路分析：(1)先求出公共弦所在直線方程，再利用半徑、圓心到直線距離、弦長(zhǎng)之半構(gòu)成的直角三角形求解； 　　(2)求出圓心、半徑，也可用經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程求解．

提示：

解有關(guān)圓的問(wèn)題，應(yīng)充分利用圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行解題．借助圓的幾何性質(zhì)，減少不必要的計(jì)算．