Question

某單位有三輛汽車參加某種事故保險，單位年初向保險公司繳納每輛900元的保險金、對在一年內發生此種事故的每輛汽車，單位獲9000元的賠償（假設每輛車最多只賠償一次）．設這三輛車在一年內發生此種事故的概率分別為，且各車是否發生事故相互獨立，求一年內該單位在此保險中：
（1）獲賠的概率；
（2）獲賠金額ξ的分別列與期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）設A_k表示第k輛車在一年內發生此種事故，k=1，2，3、由題意知A₁，A₂，A₃之間相互獨立，正難則反，該單位一年內獲賠的對立事件是A₁，A₂，A₃都不發生，用對立事件的概率做出結果．
（2）由題意知ξ的所有可能值為0，9000，18000，27000，看出這四個數字對應的事件，做出事件的概率，寫出分布列，求出期望，概率在解時情況比較多，要認真．
解答：解：（1）設A_k表示第k輛車在一年內發生此種事故，k=1，2，3，
由題意知A₁，A₂，A₃獨立，且P（A₁）=，P（A₂）=，P（A₃）=
∵該單位一年內獲賠的對立事件是A₁，A₂，A₃都不發生，
∴該單位一年內獲賠的概率為．

（Ⅱ）ξ的所有可能值為0，9000，18000，27000
，

=
==，

=
==，
P（ξ=27000）=P（A₁A₂A₃）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）
=，
綜上知，ξ的分布列為

設ξ_k表示第k輛車一年內的獲賠金額，k=1，2，3，則ξ₁有分布列

∴
同理得，
綜上有Eξ=Eξ₁+Eξ₂+Eξ₃≈1000+900+818.18=2718.18（元）
點評：本題最后一問可以這樣解：由ξ的分布列得=（元）