Question

（2013•南開區二模）已知函數f（x）=x³-tx²+3x，若對于任意的a∈[1，2]，b-a=1，函數f（x）在區間（a，b）上單調遞減，則實數t的取值范圍是（　　）

A．（-∞，3]

B．（-∞，5]

C．[3，+∞）

D．[5，+∞）

Answer 1

分析：由f（x）在區間（a，b）上單調遞減，得f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在（a，b）上恒成立，由二次函數的性質可得

3a2-2ta+3≤0 3b2-2tb+3≤0

，即

3a2-2ta+3≤0 3(a+1)2-2t(a+1)+3≤0

，又對于任意的a∈[1，2]，b-a=1，函數f（x）在區間（a，b）上單調遞減，則不等式組關于a恒成立，分離出參數t后轉化為函數最值問題可解決．

解答：解：f′（x）=3x²-2tx+3，
因為f（x）在區間（a，b）上單調遞減，
所以f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在（a，b）上恒成立，
所以有

3a2-2ta+3≤0 3b2-2tb+3≤0

，即

3a2-2ta+3≤0 3(a+1)2-2t(a+1)+3≤0

，
所以

t≥ 3 2 (a+ 1 a ) t≥ 3 2 [(a+1)+ 1 a+1 ]

（*），
因為對于任意的a∈[1，2]，f（x）在（a，b）上單調遞減，所以（*）式恒成立，
又

3

2

(a+

1

a

)≤

3

2

(2+

1

2

)=

15

4

（a=2時取等號），

3

2

[(a+1)+

1

a+1

]≤

3

2

(3+

1

3

)=5（a=2時取等號），
所以

t≥ 15 4 t≥5

，即t≥5，
故選D．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、考查恒成立問題，考查轉化思想，考查學生分析解決問題的能力．