Question

用數學歸納法證明下面的等式
1²-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1·n²=（-1）^n-1·。

Answer 1

解：（1）當n=1時，左邊=1²=1
右邊=（-1）⁰·
∴原等式成立。
（2）假設n=k（k∈N*，k≥1）時，等式成立，
即有1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1·k²=（-1）^k-1·
那么，當n=k+1時，則有
1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1·k²+（-1）^k（k+1）²
=（-1）^k-1·+（-1）^k·（k+1）²


∴n=k+1時，等式也成立，
由（1）（2）得對任意n∈N*有
1²-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1·n²=（-1）^n-1·。