Question

已知函數
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）已知cos（α-β）=，cos（α+β）=，0＜α＜β≤，求f（β）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用誘導公式化簡函數f（x）的解析式為 2sin（x-），令 2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數的增區間．
（Ⅱ）由已知條件，利用同角三角函數的基本關系求得sin（α-β）=-，sin（α+β）=．再根據cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]，利用兩角差的余弦公式求得結果，可得2β=π，從而求得f（β）=2sin（β-） 的值．
解答：解：（Ⅰ）∵函數=sin（x-）-cos（x+）
=2sin（x-）．
令 2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈z，求得 2kπ-≤x≤2kπ+，k∈z，
故函數的增區間為[2kπ-，2kπ+]，k∈z．
（Ⅱ）已知cos（α-β）=，cos（α+β）=，0＜α＜β≤，
∴sin（α-β）=-，sin（α+β）=．
∴cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sinα+β）sin（α-β）=-+（-）=-1，
∴2β=π，∴f（β）=2sin（β-）=2sin=．
點評：本題主要考查兩角和差的正余弦公式、誘導公式、同角三角函數的基本關系，正弦函數的單調性，屬于中檔題．