Question

函數f（x）=ax³-3x+1對于x∈[1，+∞]總有f（x）≥0成立，則a的取值范圍為（　　）

A．[2，+∞）

B．[4，+∞）

C．{4}

D．[2，4]

Answer 1

分析：當x=1時，f（x）=a-3+1≥0，解得a≥2．當x＞1時，若總有f（x）≥0，則ax³-3x+1≥0，a≥

3

x2

-

1

x3

，令g（x）=

3

x2

-

1

x3

，利用導數的性質能求出a的取值范圍．

解答：解：①當x=1時，f（x）=a-3+1≥0，解得a≥2．
②當x＞1時，若總有f（x）≥0，則ax³-3x+1≥0，
∴a≥

3

x2

-

1

x3

，
令g（x）=

3

x2

-

1

x3

，g^′（x）=

-6

x3

+

3

x4

=

-6(x- 1 2 )

x4

，
當x＞1時，g^′（x）＜0．
∴g（x）在x＞1時是減函數，
∴g（x）＜g（1）=2．
∴a的取值范圍為[2，+∞）．
故選A．

點評：本題考查了含參數的函數在閉區間（含0）上恒成立問題，既可以對自變量x進行分類討論，也可對參數a分類討論，求出答案．