Question

求函數y=-cos²x-4sinx+6的值域．

Answer 1

解：y=-cos²x-4sinx+6=-（1-sin²x）-4sinx+6=sin²x-4sinx+5=（sinx-2）²+1，
∵sinx∈[-1，1]，且函數在[-1，1]上為減函數，
∴x=-1時，y取得最大值，y_max=10；x=1時，y取得最小值，y_min=2，
則函數的值域為y∈[2，10]．
分析：先利用同角三角函數間的基本關系把函數關系式化為關于sinx的式子，配方后根據正弦函數的值域得出sinx的范圍，從而得出在自變量sinx范圍中函數y為減函數，從而求出y的最大值及最小值，進而得出函數的值域．
點評：此題考查了三角函數的恒等變形及化簡求值，同角三角函數間的基本關系，二次函數的圖象與性質以及正弦函數的值域，利用三角函數的恒等變形把函數解析式化為自變量為sinx的二次函數頂點形式，進而判斷出函數為減函數是解本題的關鍵．