Question

過橢圓的右焦點F₂并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，橢圓上不同的兩點A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）滿足條件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列，則弦AC的中垂線在y軸上的截距的范圍是     ．

Answer 1

【答案】分析：使用焦半徑公式求得x₁+x₂的值，可以設AC的中垂線方程，代入橢圓方程，使用韋達定理；也可以用“點差法”：記AC中點M（4，y），將A、C兩點的坐標代入橢圓方程后作差，求得AC的斜率表達式，表示出AC的中垂線方程，把x=0代入求得AC的中垂線在y軸上的截距，根據M在圓內求得y的范圍，進而求得的范圍即弦AC的中垂線在y軸上的截距的范圍．
解答：解：對|F₂A|+|F₂C|=使用焦半徑公式得：5-x₁+5-x₂=⇒x₁+x₂=8．
此后，可以設AC的中垂線方程，代入橢圓方程，使用韋達定理；也可以用“點差”：記AC中點M（4，y），將A、C兩點的坐標代入橢圓方程后作差得：
⇒，
∴k_AC=-，
于是有：AC的中垂線的方程為：
y-y=（x-4），
當x=0時：y=-，此即AC的中垂線在y軸上的截距，
∵M（4，y）在橢圓“內”，
∴，
得-＜y＜，
∴-＜-＜．
故答案為：（）
點評：本題主要考查了橢圓的應用，直線與橢圓的位置關系的綜合．當直線與圓錐曲線相交時，涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化．