Question

求同時滿足下列條件的所有復數(shù)z：(1)是實數(shù)，且。
(2)z的實部和虛部都是整數(shù)。

Answer 1

復數(shù)z為：1±3i或3±i.

設(shè)z=a+bi (a,b∈R,且a²+b²≠0).
則

由(1)知是實數(shù)，且,
∴  即b=0或a²+b²=10.
又   *
當b=0時，*化為無解。
當a²+b²=10時，*化為1<2a≤6, ∴.
由(2)知 a=1,2,3.
∴ 相應的b=±3, ±(舍)，±1，
因此，復數(shù)z為：1±3i或3±i.
此題不僅考查了復數(shù)的概念、運算等，同時也考查到了方程、不等式的解法。